齐次坐标系统 ​

为什么 3D 图形学使用 4×4 矩阵而不是 3×3？答案是：为了支持平移变换。

但这引出了一个问题：3D 空间只有 x、y、z 三个维度，第四个维度 w 是什么？

这就是齐次坐标系统。

从一个问题开始 ​

尝试用 3×3 矩阵表示"将点 (1, 2, 3) 平移到 (4, 5, 6)"：

$$ \begin{bmatrix} ? & ? & ? \ ? & ? & ? \ ? & ? & ? \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \ 5 \ 6 \end{bmatrix} $$

问题：无论矩阵元素是什么，都无法实现！

因为矩阵乘法是线性运算，而平移是仿射变换（非线性）。

齐次坐标的引入 ​

解决方案：增加一个维度。

将 3D 坐标 $(x, y, z)$ 扩展为 4D：$(x, y, z, w)$

• 点：$(x, y, z, 1)$，w = 1
• 方向向量：$(x, y, z, 0)$，w = 0

这就是齐次坐标（Homogeneous Coordinates）。

齐次坐标的意义 ​

点 vs 方向向量 ​

在齐次坐标系统中，w 的值区分了两种概念：

• w = 1：表示位置（点）
• w = 0：表示方向（向量）

为什么要区分？因为它们对平移的响应不同：

• 点 $(1, 2, 3, 1)$ 平移 (5, 0, 0) → $(6, 2, 3, 1)$（位置改变）
• 方向 $(1, 0, 0, 0)$ 平移 (5, 0, 0) → $(1, 0, 0, 0)$（方向不变）

这个区分在矩阵变换中自动实现！

w ≠ 1 的情况 ​

齐次坐标 $(x, y, z, w)$ 可以通过齐次除法转换回 3D 坐标：

$$ (x', y', z') = \left(\frac{x}{w}, \frac{y}{w}, \frac{z}{w}\right) $$

例如：

• $(4, 6, 8, 2)$ → $(2, 3, 4)$
• $(10, 20, 30, 5)$ → $(2, 4, 6)$

这意味着：$(4, 6, 8, 2)$ 和 $(2, 3, 4, 1)$ 表示同一个点。

为什么叫"齐次"？ ​

"齐次"（Homogeneous）意为"相同种类"。在齐次坐标中，所有按比例缩放的坐标都表示同一个点：

$$ (x, y, z, w) \equiv (kx, ky, kz, kw), \quad k \neq 0 $$

平移矩阵的实现 ​

有了齐次坐标，平移矩阵就可以实现了：

$$ \mathbf{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \ 0 & 1 & 0 & t_y \ 0 & 0 & 1 & t_z \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

验证（平移点）：

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 \ 0 & 1 & 0 & 3 \ 0 & 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+5 \ 2+3 \ 3+1 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \ 5 \ 4 \ 1 \end{bmatrix} $$

验证（平移方向向量）：

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 \ 0 & 1 & 0 & 3 \ 0 & 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix} $$

方向向量不受平移影响！

代码中的齐次坐标 ​

Vector3 的扩展 ​

在代码中，我们通常使用 Vector3 表示 3D 坐标，但在矩阵变换时自动添加 w：

class Matrix4 {
  // ... 前面的代码 ...
  
  multiplyVector(v, w = 1) {
    const e = this.elements;
    const x = v.x, y = v.y, z = v.z;
    
    const outX = e[0] * x + e[4] * y + e[8]  * z + e[12] * w;
    const outY = e[1] * x + e[5] * y + e[9]  * z + e[13] * w;
    const outZ = e[2] * x + e[6] * y + e[10] * z + e[14] * w;
    const outW = e[3] * x + e[7] * y + e[11] * z + e[15] * w;
    
    // 齐次除法（如果 w ≠ 1）
    if (outW !== 1 && outW !== 0) {
      return new Vector3(outX / outW, outY / outW, outZ / outW);
    }
    
    return new Vector3(outX, outY, outZ);
  }
  
  // 专门用于点的变换（w=1）
  transformPoint(point) {
    return this.multiplyVector(point, 1);
  }
  
  // 专门用于方向的变换（w=0）
  transformDirection(direction) {
    return this.multiplyVector(direction, 0);
  }
}

使用示例：

const matrix = new Matrix4();
// ... 设置为平移矩阵 ...

const point = new Vector3(1, 2, 3);
const direction = new Vector3(1, 0, 0);

const transformedPoint = matrix.transformPoint(point);
console.log(transformedPoint.toString()); // 平移后的点

const transformedDir = matrix.transformDirection(direction);
console.log(transformedDir.toString()); // 方向不变

投影变换中的 w ​

齐次坐标的另一个重要应用是透视投影。

在透视投影中，w 不再是 1，而是与深度相关的值。齐次除法后，远处的物体会缩小，产生透视效果。

这将在"投影变换"章节详细讲解。

小结 ​

齐次坐标系统是 3D 图形学的基石：

• 定义：在 3D 坐标后添加第四维 w，$(x, y, z) \rightarrow (x, y, z, w)$
• 点：w = 1，$(x, y, z, 1)$
• 方向向量：w = 0，$(x, y, z, 0)$
• 齐次除法：$(x, y, z, w) \rightarrow (x/w, y/w, z/w)$
• 作用：
  • 统一表示平移和线性变换
  • 区分点和方向向量
  • 实现透视投影

有了齐次坐标，下一章将实现具体的平移变换矩阵。

练习：

1. 将点 $(2, 3, 4)$ 转换为齐次坐标
2. 将齐次坐标 $(6, 9, 12, 3)$ 转换回 3D 坐标
3. 验证平移矩阵对方向向量 $(1, 0, 0, 0)$ 不起作用
4. 思考：为什么方向向量对平移"免疫"在物理上是合理的？