四元数运算 ​

四元数的乘法、共轭、逆等运算是旋转组合和变换的基础。

四元数乘法 ​

两个四元数相乘：

$$ \mathbf{q}_1 \times \mathbf{q}_2 = [w_1, \mathbf{v}_1] \times [w_2, \mathbf{v}_2] $$

展开公式：

$$ \mathbf{q}_1 \times \mathbf{q}_2 = [w_1 w_2 - \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2, \quad w_1 \mathbf{v}_2 + w_2 \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2] $$

分量形式：

$$ \begin{align} w &= w_1 w_2 - x_1 x_2 - y_1 y_2 - z_1 z_2 \ x &= w_1 x_2 + x_1 w_2 + y_1 z_2 - z_1 y_2 \ y &= w_1 y_2 - x_1 z_2 + y_1 w_2 + z_1 x_2 \ z &= w_1 z_2 + x_1 y_2 - y_1 x_2 + z_1 w_2 \end{align} $$

代码实现 ​

class Quaternion {
  multiply(other) {
    const w = this.w * other.w - this.x * other.x - this.y * other.y - this.z * other.z;
    const x = this.w * other.x + this.x * other.w + this.y * other.z - this.z * other.y;
    const y = this.w * other.y - this.x * other.z + this.y * other.w + this.z * other.x;
    const z = this.w * other.z + this.x * other.y - this.y * other.x + this.z * other.w;
    return new Quaternion(w, x, y, z);
  }
}

// 示例：绕Y轴旋转90度，再绕X轴旋转90度
const qY = Quaternion.fromAxisAngle(new Vector3(0, 1, 0), Math.PI / 2);
const qX = Quaternion.fromAxisAngle(new Vector3(1, 0, 0), Math.PI / 2);
const qCombined = qY.multiply(qX);  // 注意顺序！

重要：四元数乘法不满足交换律！

$$ \mathbf{q}_1 \times \mathbf{q}_2 \neq \mathbf{q}_2 \times \mathbf{q}_1 $$

顺序很重要：$\mathbf{q}_2 \times \mathbf{q}_1$ 表示先应用 $\mathbf{q}_1$ 后应用 $\mathbf{q}_2$。

共轭（Conjugate） ​

四元数的共轭：虚部取反

$$ \mathbf{q}^* = [w, -\mathbf{v}] = [w, -x, -y, -z] $$

conjugate() {
  return new Quaternion(this.w, -this.x, -this.y, -this.z);
}

性质：

$$ \mathbf{q} \times \mathbf{q}^* = [w^2 + x^2 + y^2 + z^2, (0, 0, 0)] $$

对于单位四元数：

$$ \mathbf{q} \times \mathbf{q}^* = [1, (0, 0, 0)] $$

逆（Inverse） ​

四元数的逆：

$$ \mathbf{q}^{-1} = \frac{\mathbf{q}^*}{|\mathbf{q}|^2} $$

对于单位四元数（$|\mathbf{q}| = 1$）：

$$ \mathbf{q}^{-1} = \mathbf{q}^* $$

invert() {
  const lenSq = this.w * this.w + this.x * this.x + this.y * this.y + this.z * this.z;
  if (lenSq === 0) return new Quaternion();
  
  const invLenSq = 1 / lenSq;
  return new Quaternion(
    this.w * invLenSq,
    -this.x * invLenSq,
    -this.y * invLenSq,
    -this.z * invLenSq
  );
}

应用：逆四元数表示反向旋转。

点积（Dot Product） ​

$$ \mathbf{q}_1 \cdot \mathbf{q}_2 = w_1 w_2 + x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 $$

dot(other) {
  return this.w * other.w + this.x * other.x + this.y * other.y + this.z * other.z;
}

用途：计算两个旋转之间的"角度差"。

$$ \cos(\theta) = \mathbf{q}_1 \cdot \mathbf{q}_2 $$

旋转组合 ​

连续旋转：先旋转 $\mathbf{q}_1$，再旋转 $\mathbf{q}_2$

$$ \mathbf{q}_{total} = \mathbf{q}_2 \times \mathbf{q}_1 $$

注意顺序：右侧先应用！

function combineRotations(q1, q2) {
  return q2.multiply(q1);  // 先q1后q2
}

// 示例：先绕Y轴转90度，再绕X轴转45度
const qY = Quaternion.fromAxisAngle(new Vector3(0, 1, 0), Math.PI / 2);
const qX = Quaternion.fromAxisAngle(new Vector3(1, 0, 0), Math.PI / 4);
const qFinal = qX.multiply(qY);

标量乘法 ​

$$ s \cdot \mathbf{q} = [s \cdot w, s \cdot x, s \cdot y, s \cdot z] $$

multiplyScalar(s) {
  return new Quaternion(this.w * s, this.x * s, this.y * s, this.z * s);
}

注意：标量乘法后不再是单位四元数，需要重新归一化。

加法 ​

$$ \mathbf{q}_1 + \mathbf{q}_2 = [w_1 + w_2, x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2] $$

add(other) {
  return new Quaternion(
    this.w + other.w,
    this.x + other.x,
    this.y + other.y,
    this.z + other.z
  );
}

用途：主要用于插值算法（如Slerp）。

小结 ​

• 乘法：组合旋转，不满足交换律
• 共轭：虚部取反，单位四元数的共轭等于逆
• 逆：反向旋转
• 点积：测量旋转相似度
• 顺序：$\mathbf{q}_2 \times \mathbf{q}_1$ 表示先应用 $\mathbf{q}_1$